Question

4．已知O为△ABC的外心，BC=2，∠A=45°，∠B为锐角，则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{BC}$的取值范围是（-2，2$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 由条件根据三角形的外心的定义和向量的数量积的定义，结合正弦定理和三角函数的化简，从而得到范围．

解答 解：根据已知O为△ABC的外心，可得OA=OB=OC=R，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{OA}$•（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OB}$）
=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=R²（cos∠AOC-cos∠AOB）
=-2R²sin$\frac{1}{2}$（∠AOC+∠AOB）sin$\frac{1}{2}$（∠AOC-∠AOB）
=-2R²sin（B+C）sin（B-C）
由正弦定理可得2R=$\frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=2$\sqrt{2}$，B+C=135°，
则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{BC}$=-4•$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2B-135°），
由B为锐角，可得sin（2B-135°）∈[-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
即有$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{BC}$的范围是（-2，2$\sqrt{2}$]．
故答案为：（-2，2$\sqrt{2}$]．

点评 本题主要考查三角形的外心的定义和性质，两个向量垂直的性质，属于基础题．