Question

20．已知函数f（x）=$\frac{（x-a）^{2}}{lnx}$（其中a为常数）．
（1）当a=0时，求函数f（x）的单调减区间和极值点；
（2）当a＞0时，设函数f（x）的3个极值点为x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，
①求a的取值范围；
②证明：当0＜a＜1时，x₁+x₃＞$\frac{2}{\sqrt{e}}$．

Answer 1

分析 （1）a=0时求出f（x），求f′（x），根据导数符号即可找出函数f（x）的单调减区间，并找出极值点；
（2）①求f′（x）=$\frac{（x-a）（2lnx+\frac{a}{x}-1）}{l{n}^{2}x}$，设h（x）=$2lnx+\frac{a}{x}-1$，求h′（x），根据导数符号可以得到$h（\frac{a}{2}）$是h（x）的最小值，而根据已知条件h（x）=0有两个不等实根，从而得到$h（\frac{a}{2}）＜0$，解不等式即得a的取值范围；
②先判断出x₂=a，从而x₁，x₃是函数h（x）的两个零点，这样即可得到2x₁lnx₁-x₁=2x₃lnx₃-x₃．可设g（x）=2xlnx-x，求g′（x），根据其符号可判断g（x）在$（0，\frac{1}{\sqrt{e}}]$上单调递减，而不等式${x}_{1}+{x}_{3}＞\frac{2}{\sqrt{e}}$等价于$g（{x}_{1}）-g（\frac{2}{\sqrt{e}}-{x}_{1}）＞0$，设F（x）=$g（x）-g（\frac{2}{\sqrt{e}}-x）$，F（$\frac{1}{\sqrt{e}}$）=0，而F（x）在$（0，\frac{1}{\sqrt{e}}]$上单调递减，从而得到F（x）＞0，从而得到F（x₁）＞0，这样即证出了结论．

解答 解：（1）a=0时，f（x）=$\frac{{x}^{2}}{lnx}$，$f′（x）=\frac{x（2lnx-1）}{（lnx）^{2}}$；
∴x∈（0，1）时，f′（x）＜0；x$∈（1，\sqrt{e}）$时，f′（x）＜0；x$∈（\sqrt{e}，+∞）$时，f′（x）＞0；
∴函数f（x）的单调递减区间为（0，1），（1，$\sqrt{e}$]，极值点为x=$\sqrt{e}$；
（2）①f′（x）=$\frac{（x-a）（2lnx+\frac{a}{x}-1）}{l{n}^{2}x}$；
令h（x）=$2lnx+\frac{a}{x}-1$，h′（x）=$\frac{2x-a}{{x}^{2}}$；
∴h（x）在（0，$\frac{a}{2}$）上单调递减，在（$\frac{a}{2}，+∞$）上单调递增；
∴$h（\frac{a}{2}）$是h（x）的最小值；
∵f（x）有三个极值点x₁＜x₂＜x₃；
∴$h（\frac{a}{2}）=2ln\frac{a}{2}+1＜0$；
∴$a＜\frac{2}{\sqrt{e}}$；
∴a的取值范围为（0，$\frac{2}{\sqrt{e}}$）；
②证明：当0＜a＜1时，h（a）=2lna＜0，h（1）=a-1＜0；
∴x₂=a；
即x₁，x₃是函数h（x）的两个零点；
∴$\left\{\begin{array}{l}{2ln{x}_{1}+\frac{a}{{x}_{1}}-1=0}\\{2ln{x}_{3}+\frac{a}{{x}_{3}}-1=0}\end{array}\right.$；
消去a得2x₁lnx₁-x₁=2x₃lnx₃-x₃；
令g（x）=2xlnx-x，g′（x）=2lnx+1，g′（x）的零点为x=$\frac{1}{\sqrt{e}}$，且${x}_{1}＜\frac{1}{\sqrt{e}}＜{x}_{3}$；
∴g（x）在$（0，\frac{1}{\sqrt{e}}）$上递减，在$（\frac{1}{\sqrt{e}}，+∞）$上递增；
要证明${x}_{1}+{x}_{3}＞\frac{2}{\sqrt{e}}$?${x}_{3}＞\frac{2}{\sqrt{e}}-{x}_{1}$?$g（{x}_{3}）＞g（\frac{2}{\sqrt{e}}-{x}_{1}）$；
∵g（x₁）=g（x₃），∴即证$g（{x}_{1}）-g（\frac{2}{\sqrt{e}}-{x}_{1}）＞0$；
构造函数F（x）=$g（x）-g（\frac{2}{\sqrt{e}}-x）$，则F（$\frac{1}{\sqrt{e}}$）=0；
∴只要证明$x∈（0，\frac{1}{\sqrt{e}}]$上F（x）单调递减；
g（x）在（$0，\frac{1}{\sqrt{e}}$]单调递减；
∴x增大时，$\frac{2}{\sqrt{e}}$-x减小，$g（\frac{2}{\sqrt{e}}-x）$增大，-$g（\frac{2}{\sqrt{e}}-x）$减小；
∴$-g（\frac{2}{\sqrt{e}}-x）$在（0，$\frac{1}{\sqrt{e}}$]上是减函数；
∴$g（x）-g（\frac{2}{\sqrt{e}}-x）$在（0，$\frac{1}{\sqrt{e}}$]上是减函数；
∴当0＜a＜1时，${x}_{1}+{x}_{3}＞\frac{2}{\sqrt{e}}$．

点评 考查根据导数符号求函数单调区间，求函数极值点的方法，极值点的概念，以及构造函数解决问题的方法，根据导数符号求函数最值的方法，根据单调性定义判断函数单调性的方法，以及函数单调性定义的运用．