Question

9．对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是f（x）的导函数，f″（x）是f′（x）的导函数，则f′（x）叫f（x）的一阶导数，f″（x）叫f（x）的二阶导数，若方程f″x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数f（x）的“拐点”．有个同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{12}$，则g（$\frac{1}{2015}$）+g（$\frac{2}{2015}$）+…+g（$\frac{2014}{2015}$）=2014．

Answer 1

分析 由题意求导g′（x）=x²-x+3，g″（x）=2x-1，从而得到（$\frac{1}{2}$，1）是函数g（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{12}$的对称中心，从而解得．

解答 解：∵g（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{12}$，
∴g′（x）=x²-x+3，
g″（x）=2x-1，
令g″（x）=2x-1=0得，
x=$\frac{1}{2}$；
g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{4}$+3×$\frac{1}{2}$-$\frac{5}{12}$=1，
则（$\frac{1}{2}$，1）是函数g（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{12}$的对称中心，
则g（$\frac{1}{2015}$）+g（$\frac{2014}{2015}$）=2，g（$\frac{2}{2015}$）+g（$\frac{2013}{2015}$）=2，…，
g（$\frac{1007}{2015}$）+g（$\frac{1008}{2015}$）=2，
故g（$\frac{1}{2015}$）+g（$\frac{2}{2015}$）+…+g（$\frac{2014}{2015}$）=2014；
故答案为：2014．

点评 本题考查了学生对新知识的接受与应用能力及导数的综合应用，属于中档题．