Question

17．一个四面体的棱长都为1，四个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为$\frac{3π}{2}$．

Answer 1

分析 将正四面体补成正方体，通过正方体的对角线与球的半径关系，求解即可．

解答 解：如图，将正四面体补形成一个正方体，正四面体的外接球与正方体的外接球相同．
∵正四面体为1，∴正方体的棱长是$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又∵球的直径是正方体的对角线，设球半径是R，
∴2R=$\frac{\sqrt{6}}{2}$
∴R=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，球的表面积为4π（$\frac{\sqrt{6}}{4}$）²=$\frac{3π}{2}$．
故答案为：$\frac{3π}{2}$．

点评 巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的直径为正方体的对角线，从而将问题巧妙转化．若已知正四面体V-ABC的棱长为a，求外接球的半径，我们可以构造出一个球的内接正方体，再应用对角线长等于球的直径可求得．