Question

6．已知函数f（x）=$\frac{lnx+a}{x}$（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间与极值；
（2）若函数f（x）的图象与函数g（x）=1的图象在区间（0，e²]上有两个公共点，求实数a的取值范围；
（3）当-2＜a＜-1时，若函数f（x）在区间（m，e²）（其中m＞0）上恒有一个零点，求实数m的最大值．

Answer 1

分析 （1）先确定函数f（x）=$\frac{lnx+a}{x}$的定义域，再求导f′（x）=$\frac{1-lnx-a}{{x}^{2}}$；从而由导数确定函数的单调区间及极值；
（2）由（1）知，分e^1-a＜e²与e^1-a≥e²讨论函数的单调性及取值，从而求实数a的取值范围；
（3）由（2）知，当-2＜a＜-1时，函数f（x）在区间（m，e²）上单调递增，结合f（e²）=$\frac{a+2}{{e}^{2}}$＞0得f（m）=$\frac{lnm+a}{m}$＜0；从而解得．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{lnx+a}{x}$的定义域为（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1-lnx-a}{{x}^{2}}$；
令f′（x）=$\frac{1-lnx-a}{{x}^{2}}$=0得，x=e^1-a；
故f（x）在（0，e^1-a）上是增函数，在（e^1-a，+∞）上是减函数；
故f（x）_极大值=f（e^1-a）=e^a-1；无极小值．
（2）（i）当e^1-a＜e²，即a＞-1时，
f（x）在（0，e^1-a）上是增函数，在（e^1-a，e²]上是减函数；
f（x）_max=f（e^1-a）=e^a-1；f（e^-a）=0，f（e²）=$\frac{a+2}{{e}^{2}}$；
故$\frac{a+2}{{e}^{2}}$≤1＜e^a-1；
故1＜a≤e²-2；
（ii）当e^1-a≥e²，即a≤-1时，
f（x）在（0，e²]上是增函数；
故函数f（x）的图象与函数g（x）=1的图象在区间（0，e²]上至多有一个公共点，故不满足；
综上所述，实数a的取值范围是（1，e²-2]；
（3）由（2）知，当-2＜a＜-1时，函数f（x）在区间（m，e²）上单调递增；
又f（e²）=$\frac{a+2}{{e}^{2}}$＞0，
故f（m）=$\frac{lnm+a}{m}$＜0；
即lnm＜-a对-2＜a＜-1恒成立；
故lnm≤1；
故m≤e，
即m的最大值为e．

点评 本题考查了导数的综合应用及学生的化简运算能力，同时考查了分类讨论及恒成立问题，属于难题．