Question

14．如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC．
（Ⅰ）求证：PC⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明PC⊥平面ABC；
（Ⅱ）建立坐标系，利用向量法即可求二面角B-AP-C的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）取AB的中点D，连结PD，CD．
∵AP=BP，∴PD⊥AB．
∵AC=BC，∴CD⊥AB．
∵PD∩CD=D，
∴AB⊥平面PCD．----（3分）
∵PC?平面PCD，
∴PC⊥AB，
又∵PC⊥AC，
∴PC⊥平面ABC-----（6分）
（Ⅱ）如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．
则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）．
设P（0，0，t）．---（8分）
∵|PB|=|AB|=2$\sqrt{2}$，
∴t=2，P（0，0，2）．----（9分）
取AP中点E，连结BE，CE．
∵|AC|=|PC|，|AB|=|BP|，
∴CE⊥AP，BE⊥AP．
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角．
∵E（0，1，1），$\overrightarrow{EC}=（0，-1，-1）$，$\overrightarrow{EB}=（2，-1，-1）$，
∴cos$∠BEC=\frac{\overrightarrow{EC}•\overrightarrow{EB}}{|\overrightarrow{EB}||\overrightarrow{EC}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}•\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴二面角B-AP-C的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查线面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系，利用向量法是解决空间角的常用方法．