Question

7．边长为4的正方形ABCD的中心为O，以O为圆心，1为半径作圆，点M是圆O上的任意一点，点N是边AB、BC、CD上的任意一点（含端点），则$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{DA}$的取值范围是（　　）

• A． [-18，18]
• B． [-16，16]
• C． [-12，12]
• D． [-8，8]

Answer 1

分析 先以E为坐标原点建立平面直角坐标系，求出$\overrightarrow{DA}$=（0，-4），设P（cosα，sinα），分N在边AB，BC，CD上三种情况，当N在边AB上时可设N（x₀，-2），
求出$\overrightarrow{MN}$=（x₀-cosα，-2-sinα），$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{DA}$=8+4sinα，所以由-4≤4sinα≤4可得到4≤$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{DA}$≤12，同样的办法求出另外两种情况下的$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{DA}$的取值范围，最后对这三种情况下所得$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{DA}$求并集即可得到$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{DA}$的取值范围．

解答 解：以E为坐标原点，x轴∥AB，y轴∥AD，建立如图所示平面直角坐标系：
设M（cosα，sinα），$\overrightarrow{DA}$=（0，-4），
（1）若N点在边AB上，设N（x₀，-2），-2≤x₀≤2，则：$\overrightarrow{MN}$=（x₀-cosα，-2-sinα），$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{DA}$=8+4sinα，所以由-4≤4sinα≤4可得到4≤$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{DA}$≤12；
（2）若N点在边BC上，设N（2，y₀），-2＜y₀≤2，则：$\overrightarrow{MN}$=（2-cosα，y₀-sinα），$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{DA}$=-4y₀+4sinα，所以由-8≤-4y₀≤8，-4≤4sinα≤4可得到-12≤$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{DA}$≤12，
（3）若N点在边CD上，设N（x₀，2），-2≤x₀＜2，则：$\overrightarrow{MN}$=（x₀-cosα，-2-sinα），$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{DA}$=-8+4sinα，所以由-4≤4sinα≤4可得到-12≤$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{DA}$≤-4；
∴综上可得-12≤$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{DA}$≤12；
故选C．

点评 本题考查建立平面直角坐标系解决问题的方法，由点的坐标求向量的坐标，向量数量积的坐标运算，设出P点坐标，讨论Q点所在的边是求解本题的关键