Question

18．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对应的三角形的边长，若4a$\overrightarrow{BC}$+2b$\overrightarrow{CA}$+3c$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{0}$，则cosB=（　　）

• A． $-\frac{29}{36}$
• B． $\frac{29}{36}$
• C． $\frac{11}{24}$
• D． $-\frac{11}{24}$

Answer 1

分析 由已知及向量减法的平行四边形法则可得4a$\overrightarrow{BC}$+2b$\overrightarrow{CA}$+3c$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{0}$，即（4a-3c）$\overrightarrow{BC}$+（2b-3c）$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{0}$，根据向量的基本定理可得a，b，c之间的关系，然后利用余弦定理即可求cosB．

解答 解：∵4a$\overrightarrow{BC}$+2b$\overrightarrow{CA}$+3c$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{0}$，
∴（4a-3c）$\overrightarrow{BC}$+（2b-3c）$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{0}$，
∵$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{CA}$不共线
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a-3c=0}\\{2b-3c=0}\end{array}\right.$即a=$\frac{3c}{4}$，b=$\frac{3c}{2}$，
则cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{\frac{9{c}^{2}}{16}+{c}^{2}-\frac{9{c}^{2}}{4}}{2×\frac{3c}{4}×c}$=-$\frac{11}{24}$；
故选D．

点评 本题主要考查了向量减法的四边形法则，平面向量的基本定理及余弦定理的综合应用，解题的关键是把已知变形为（4a-3c）$\overrightarrow{BC}$+（2b-3c）$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{0}$．