Question

12．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，x≥1}\\{\frac{1}{x}，0＜x＜1}\end{array}\right.$，g（x）=af（x）-|x-2|，a∈R．
（Ⅰ）当a=0时，若g（x）≤|x-1|+b对任意x∈（0，+∞）恒成立，求实数b的取值范围；
（Ⅱ）当a=1时，求函数y=g（x）的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出当a=0时的g（x）的解析式，运用绝对值不等式的性质可得-b不大于1，即可得到b的范围；
（Ⅱ）求出当a=1时的g（x）的解析式，再求各段的最值，结合基本不等式和函数的单调性，即可得到．

解答 解：（Ⅰ）当a=0时，g（x）=-|x-2|（x＞0），
g（x）≤|x-1|+b?-b≤|x-1|+|x-2|，
由于|x-1|+|x-2|≥|（x-1）-（x-2）|=1，当且仅当1≤x≤2时等号成立，
即有-b≤1，解得b≥-1．
则实数b的取值范围是[-1，+∞）；                                       
（Ⅱ）当a=1时，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}+x-2，0＜x＜1}\\{2x-2，1≤x≤2}\\{2，x＞2}\end{array}\right.$，
当0＜x＜1时，g（x）=x+$\frac{1}{x}$-2＞2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$-2=0；                  
当x≥1时，g（x）≥0，当且仅当x=1等号成立；                     
故当x=1时，函数y=g（x）取得最小值0．

点评 本题考查分段函数的运用，主要考查绝对值不等式的性质和基本不等式的运用，同时考查分段函数的最值的求法，属于中档题．