Question

4．某校高三年级研究性学习小组共6人，计划同时参观科普展，该科普展共有甲，乙，丙三个展厅，6人各自随机地确定参观顺序，在每个展厅参观一小时后去其他展厅，所有展厅参观结束后集合返回，设事件A为：在参观的第一小时时间内，甲，乙，丙三个展厅恰好分别有该小组的2个人；事件B为：在参观的第二个小时时间内，该小组在甲展厅人数恰好为2人．
（Ⅰ）求P（A）及P（B|A）；
（Ⅱ）设在参观的第三个小时时间内，该小组在甲展厅的人数为ξ，则在事件A发生的前提下，求ξ的概率分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （I）由于每个人均有3种参观方法，因此共有3⁶种方法，其中在参观的第一小时时间内，甲，乙，丙三个展厅恰好分别有该小组的2个人的方法有${∁}_{6}^{2}{∁}_{4}^{2}{∁}_{2}^{2}$种，利用古典概率计算公式即可得出，同理可得P（B|A）．
（II）在事件A发生的前提下，可知已经有2人参观过甲展厅，该小组在甲展厅的人数ξ=0，1，2，3，4．P（ξ=k）=P（参观的第二个小时时间内该小组在甲展厅的人数ξ=4-k）=$\frac{{∁}_{4}^{4-k}}{{2}^{4}}$，（k=0，1，2，3，4），可得分布列及其数学期望．

解答 解：（I）P（A）=$\frac{{∁}_{6}^{4}{∁}_{4}^{2}{∁}_{2}^{2}}{{3}^{6}}$=$\frac{10}{81}$．
P（B|A）=$\frac{{∁}_{4}^{2}}{{2}^{4}}$=$\frac{3}{8}$．
（II）在事件A发生的前提下，可知已经有2人参观过甲展厅，该小组在甲展厅的人数ξ=0，1，2，3，4．
P（ξ=0）=P（参观的第二个小时时间内该小组在甲展厅的人数ξ=4）=$\frac{{∁}_{4}^{4}}{{2}^{4}}$=$\frac{1}{16}$；
P（ξ=1）=P（参观的第二个小时时间内该小组在甲展厅的人数ξ=3）=$\frac{{∁}_{4}^{3}}{{2}^{4}}$=$\frac{4}{16}$；
P（ξ=2）=P（参观的第二个小时时间内该小组在甲展厅的人数ξ=2）=$\frac{{∁}_{4}^{2}}{{2}^{4}}$=$\frac{6}{16}$；
P（ξ=3）=P（参观的第二个小时时间内该小组在甲展厅的人数ξ=1）=$\frac{{∁}_{4}^{1}}{{2}^{4}}$=$\frac{4}{16}$；
P（ξ=4）=P（参观的第二个小时时间内该小组在甲展厅的人数ξ=0）=$\frac{{∁}_{4}^{0}}{{2}^{4}}$=$\frac{1}{16}$．

X	0	1	2	3	4
P（X）	$\frac{1}{16}$	$\frac{4}{16}$	$\frac{6}{16}$	$\frac{4}{16}$	$\frac{1}{16}$

E（X）=0×$\frac{1}{16}$+1×$\frac{4}{16}$+2×$\frac{6}{16}$+3×$\frac{4}{16}$+4×$\frac{1}{16}$=2．

点评 本题考查了古典概率计算公式、条件概率计算公式、随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．