Question

15．在△ABC中，∠ABC=30°，AB=$\sqrt{3}$，BC边上的中线AD=1，则AC的长度为（　　）

• A． 1或$\sqrt{7}$
• B． $\sqrt{7}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 1或$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 在三角形ABD中，利用余弦定理列出关系式，把AB与AD，cos∠ABC的值代入求出BD的长，进而确定出BC的长，在三角形ABC中，利用余弦定理求出AC的长即可．

解答 解：在△ABD中，∠ABC=30°，AB=$\sqrt{3}$，AD=1，
由余弦定理得：AD²=AB²+BD²-2AB•BD•cos∠ABC，即1=3+BD²-3BD，
解得：BD=1或BD=2，
若BD=1，则BC=2CD=2，
在△ABC中，由余弦定理得：AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos∠ABC=3+4-6=1，
解得：AC=1；
若BD=2，则BC=2CD=4，
在△ABC中，由余弦定理得：AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos∠ABC=3+16-12=7，
解得：AC=$\sqrt{7}$，
综上，AC的长为1或$\sqrt{7}$．
故选：A．

点评 此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．