Question

5．在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos²A．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若b=5，sinBsinC=$\frac{5}{7}$，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （I）化简已知等式可得2cos²A+3cosA-2=0，即（2cosA-1）（cosA+2）=0，即可解得cosA的值，结合范围0＜A＜π，即可求得A的值．
（II）又由正弦定理，得$\frac{bc}{{a}^{2}}$•sin²A═$\frac{5}{7}$．由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，又b=5，即可解得c的值，由三角形面积公式即可得解．

解答 解：（I）由3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos²A，得
2cos²A+3cos A-2=0，即（2cos A-1）（cos A+2）=0．----（2分）
解得cos A=$\frac{1}{2}$或cos A=-2（舍去）．----（4分）
因为0＜A＜π，所以A=$\frac{π}{3}$．-----（6分）
（II）又由正弦定理，得sinBsinC=$\frac{b}{a}$sin A•$\frac{c}{a}$sin A=$\frac{bc}{{a}^{2}}$•sin²A═$\frac{5}{7}$．---（8分）
解得：bc=$\frac{20}{21}{a}^{2}$，
由余弦定理，得a²=b²+c²-2bccosA，又b=5，所以c=4或c=$\frac{25}{4}$----（10分）
所以可得：S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$bc•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc=5$\sqrt{3}$或S=$\frac{125\sqrt{3}}{16}$----（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查．