Question

3．求证：|$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{a}$|≥|a|-|b|．

Answer 1

分析 不等式的左边即|a-b|•|1+$\frac{b}{a}$|，分当ab≥0时、当ab＜0时两种情况，分别证得不等式成立．

解答 解：∵|$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{a}$|=|$\frac{（a+b）（a-b）}{a}$|=|a-b|•|1+$\frac{b}{a}$|，
当ab≥0时，$\frac{b}{a}$＞0，|a-b|•|1+$\frac{b}{a}$|≥|a-b|≥|a|-|b|，要证的不等式成立；
当ab＜0时，则$\frac{b}{a}$＜0，|a-b|•|1+$\frac{b}{a}$|=|a+b|•|1-$\frac{b}{a}$|≥|a+b|≥|a|-|b|，要证的不等式成立．
综上可得，要证的不等式成立．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式的应用，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于基础题．