Question

3．设函数f（x）=x²-ax+lnx（a∈R）在x=1时取得极值．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）由题意知函数f（x）的定义域为（0，+∞），求导函数，利用函数f（x）在x=1处取得极值，即f′（1）=0，可求a的值；
（2）由（1）可得f′（x），由导数的正负，即可得到函数f（x）的单调区间．

解答 解：（1）∵f（x）=x²-ax+lnx（a∈R）在x=1时取得极值，
∴f′（x）=2x-a+$\frac{1}{x}$，
∴f′（1）=0，
∴2-a+1=0，
解得a=3；
（2）∵f′（x）=2x-3+$\frac{1}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-3x+1}{x}$=$\frac{（x-1）（2x-1）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得0＜x$＜\frac{1}{2}$，或x＞1，
令f′（x）＜0，解得$\frac{1}{2}$＜x＜1，
∴函数f（x）的单调递增区间为（0，$\frac{1}{2}$），（1，+∞）单调递减区间为（$\frac{1}{2}$，1）

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的极值与单调性，正确求导是关键