Question

13．已知关于x的方程log_a（x-3）+1=log_a（x+2）+log_a（x-1）有实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 原方程等价为a（x-3）=（x+2）（x-1），x＞3，即有a=$\frac{（x+2）（x-1）}{x-3}$，令f（x）=$\frac{（x+2）（x-1）}{x-3}$，x＞3，即f（x）=（x-3）+$\frac{10}{x-3}$+7，运用基本不等式即可求得a的范围．

解答 解：log_a（x-3）+1=log_a（x+2）+log_a（x-1）即为
log_a[a（x-3）]=log_a[（x+2）（x-1）]
即有a（x-3）=（x+2）（x-1），x＞3，
即有a=$\frac{（x+2）（x-1）}{x-3}$，
令f（x）=$\frac{（x+2）（x-1）}{x-3}$，x＞3，
则f（x）=（x-3）+$\frac{10}{x-3}$+7
≥2$\sqrt{10}$+7，当且仅当x-3=$\frac{10}{x-3}$即x=3+$\sqrt{10}$，
f（x）取得最小值．
即a≥2$\sqrt{10}$+7．
则a的取值范围为[2$\sqrt{10}$+7，+∞）．

点评 本题考查方程有解的条件，主要考查对数的运算性质和基本不等式的运用：求最值，属于中档题．