Question

12．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，D是CC₁的中点，AC=BC，AB=AA₁，二面角D-AB-C的大小为60°．
（Ⅰ）若点E在线段AB上，且CE⊥BD，证明：BE=2EA；
（Ⅱ）求二面角A₁-BD-A的余弦值．

Answer 1

分析 （I）如图所示，取AB的中点O，连接CO，DO，利用等腰三角形的性质可得：CO⊥AB，取A₁B₁的中点O₁，连接OO₁，利用直棱柱的性质可建立空间直角坐标系，又AB⊥平面OCD，可得∠COD是二面角D-AB-C的平面角．不妨取CO=1，则OD=2，CD=$\sqrt{3}$．设E（0，t，0），利用$\overrightarrow{CE}⊥\overrightarrow{BD}$，可得$\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{BD}$=$-1-\sqrt{3}t$=0，解得t，即可证明BE=2EA．
（II）设平面ABD的法向量为：$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{m}$．同理可得：平面A₁BD的法向量$\overrightarrow{n}$．利用$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$，即可得出．

解答 （I）证明：如图所示，
取AB的中点O，连接CO，DO，
∵AC=BC，∴CO⊥AB，
取A₁B₁的中点O₁，连接OO₁，
则OO₁⊥平面ABC，∴OO₁⊥AB，OO₁⊥CO．
建立空间直角坐标系，
∵AB⊥平面OCD，∴∠COD是二面角D-AB-C的平面角，大小为60°．
不妨取CO=1，则OD=2，CD=$\sqrt{3}$．
∴AA₁=2$\sqrt{3}$=AB，因此OB=$\sqrt{3}$，∴AC=BC=2．
则A$（0，-\sqrt{3}，0）$，B$（0，\sqrt{3}，0）$，C（-1，0，0），O（0，0，0），D$（-1，0，\sqrt{3}）$，A₁$（0，-\sqrt{3}，2\sqrt{3}）$．
设E（0，t，0），$\overrightarrow{CE}$=（1，t，0），$\overrightarrow{BD}$=$（-1，-\sqrt{3}，\sqrt{3}）$，
∵$\overrightarrow{CE}⊥\overrightarrow{BD}$，∴$\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{BD}$=$-1-\sqrt{3}t$=0，解得t=$-\frac{1}{\sqrt{3}}$．
∴E$（0，-\frac{1}{\sqrt{3}}，0）$．
∴$BE=\sqrt{3}+\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，EA=$-\frac{\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴BE=2EA．
（II）解：$\overrightarrow{AB}$=$（0，2\sqrt{3}，0）$，$\overrightarrow{BD}$=$（-1，-\sqrt{3}，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=$（0，-2\sqrt{3}，2\sqrt{3}）$．
设平面ABD的法向量为：$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}y=0}\\{-x-\sqrt{3}y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，
可取$\overrightarrow{m}$=$（\sqrt{3}，0，1）$．
同理可得：平面A₁BD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（0，1，1）．
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{2×\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∴二面角A₁-BD-A的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查了通过建立空间直角坐标系利用法向量求空间角、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．