Question

7．已知等差数列{a_n}的前n和为S_n，且a₅=S₃=9．
（Ⅰ） 求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，集合Ω={T_n|T_n=b₁+b₂+…+b_n，n∈N⁺}
（ⅰ）求T_n；
（ⅱ）若T_i，T_j∈Ω（i，j=1，2，…，n），求T_i•T_j的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过a₅=S₃=9，得a₁=1，公差d=2，进而可得结论；
（Ⅱ）通过分离分母得b_n=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$，
（ⅰ）利用并项法可得结论；
（ⅱ）通过作差法得T₁＜T₂＜…＜T_n，结合T_n的表达式，即得结论．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，
由a_n=a₁+（n-1）d，S_n=na₁+$\frac{1}{2}n（n-1）d$，a₅=S₃=9，
得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+4d=9}\\{3{a}_{1}+3d=9}\end{array}\right.$，解得a₁=1，d=2，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=2n-1，
∴b_n=$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$，
（ⅰ）T_n=b₁+b₂+…+b_n
=1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$
=1-$\frac{1}{2n+1}$；
（ⅱ）∵T_n+1-T_n=（1-$\frac{1}{2n+3}$）-（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{2}{（2n+1）（2n+3）}$＞0，
∴数列{T_n}是递增数列，即T₁＜T₂＜…＜T_n，
所以当n=1时，T_n取得最小值为$\frac{2}{3}$，
而T_i，T_j∈Ω（i，j=1，2，…，n），
∴i=j=1时，|T_i•T_j|取得最小值为$\frac{4}{9}$．
又∵T_n=1-$\frac{1}{2n+1}$，
∴T_n＜1，则|T_i•T_j|＜1，
因此$\frac{4}{9}$≤T_i•T_j＜1．

点评 本题考查数列的性质，涉及到求通项及前n项和，利用作差法及并项法是解决本题的关键，属于中档题．