Question

2．已知双曲线Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，斜率为$\sqrt{3}$的直线l经过双曲线Γ的右焦点F₂与双曲线Γ在第一象限交于点，若△PF₁F₂是等腰三角形，则双曲线Γ的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{3}$+1
• C． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$

Answer 1

分析 由题意可得直线的倾斜角为60°，利用等腰三角形的定义和任意角的三角函数的定义，可得P（c+2ccos60°，2csin60°），即为P（2c，$\sqrt{3}$c）．代入双曲线方程，由离心率公式和a，b，c的关系，得到e的方程，解方程即可得到e．

解答 解：斜率为$\sqrt{3}$的直线l，其倾斜角为60°，
△PF₁F₂是等腰三角形，即有|PF₂|=|F₁F₂|=2c，
则有P（c+2ccos60°，2csin60°），即为P（2c，$\sqrt{3}$c）．
代入双曲线方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
即有$\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{3{c}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
由离心率公式e=$\frac{c}{a}$，b²=c²-a²，
即有4e²-$\frac{3{e}^{2}}{{e}^{2}-1}$=1，
化简可得4e⁴-8e²+1=0，解得
e²=1$±\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由e＞1，解得e=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用直线的倾斜角和等腰三角形的定义，结合任意角的三角函数的定义，求出P的坐标是解题的关键．