Question

19．已知函数f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，g（x）=$\frac{1}{f（x）-a}$，若g（2x）-a•g（x）=0有唯一实数解，求a的取值范围．

Answer 1

分析 由题意先求出g（x）的解析式，代入方程进行化简得：2^2x-a•2^x+1-a=0，利用换元法转化已知的方程，根据二次函数根的分布问题，列出不等式组求出实数a的取值范围．

解答 解：因为f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，g（x）=$\frac{1}{f（x）-a}$=-$\frac{{2}^{x}+1}{2}$，
将方程g（2x）-a•g（x）=0化为：$\frac{{2}^{2x}+1}{2}$-a•$\frac{{2}^{x}+1}{2}$=0，
化简得2^2x-a•2^x+1-a=0．
设t=2^x，则t＞0，代入上式得t²-at+1-a=0，
因为关于x的方程g（2x）-a•g（x）=0有唯一的实数解，
所以关于t的方程t²-at+1-a=0有唯一的正实数解，
则1-a＜0或 $\left\{\begin{array}{l}{△{=a}^{2}-4（1-a）=0}\\{-\frac{-a}{2}＞0}\end{array}\right.$，解得a＞1或a＞2（ $\sqrt{2}$-1），
所以实数a的取值范是：（2（ $\sqrt{2}$-1），+∞）．

点评 本题主要考查函数奇偶性的性质，二次函数根的分布问题，以及有关方程根的转化问题，考查换元法和转化思想，属于中档题．