Question

15．已知在△ABC中，已知a=4$\sqrt{2}$，b=4$\sqrt{3}$，A=45°，解此三角形．

Answer 1

分析 利用正弦定理列出关系式，把a，sinA，b的值代入求出sinB的值，确定出B的度数，进而求出C的度数，利用正弦定理求出c的值即可．

解答 解：∵在△ABC中，a=4$\sqrt{2}$，b=4$\sqrt{3}$，A=45°，
∴由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$得：sinB=$\frac{bsinA}{a}$=$\frac{4\sqrt{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}}{4\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵a＜b，∴A＜B，
∴B=60°，C=75°；B=120°，C=15°，
若C=75°，即sinC=sin75°=sin（45°+30°）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$得：c=$\frac{asinC}{sinA}$=$\frac{4\sqrt{2}×\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=2$\sqrt{6}$+2$\sqrt{2}$；
若C=15°，即sinC=sin15°=sin（45°-30°）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，
由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$得：c=$\frac{asinC}{sinA}$=$\frac{4\sqrt{2}×\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=2$\sqrt{6}$-2$\sqrt{2}$．

点评 此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．