Question

6．已知函数f（x）=x+alnx；
（1）当a=-1时，求f（x）的单调区间；
（2）求f（x）的极值；
（3）若函数f（x）没有零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将a=-1代入，求出函数f（x）的导数，通过解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；
（2）先求出函数f（x）的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值；
（3）通过讨论a的范围结合零点的判定定理，从而求出a的范围．

解答 解：（1）a=-1时，f（x）=x-lnx，（x＞0），∴f′（x）=1-$\frac{1}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；
（2）由已知f（x）=x+alnx，得函数f（x）的定义域为（0，+∞），且f（x）=1+$\frac{a}{x}$，
当a≥0时，在x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）的单调区间是（0，+∞），无递减区间，
故此时f（x）无极值；
当a＜0时，函数f（x）与f′（x）的定义域上的情况如下：

x	（0，-a）	-a	（-a，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	递减	最小值	递增

此时函数f（x）的极小值为f（-a）=a[ln（-a）-1]，无极大值，
综上：当a≥0时，f（x）无极值；
当a＜0时，函数f（x）有极小值为f（-a）=a[ln（-a）-1]，无极大值．
（3）由（2）得：
当a＞0时，函数f（x）在（0，+∞）是增函数，
且f（${e}^{-\frac{1}{a}}$）=${e}^{-\frac{1}{a}}$+aln${e}^{-\frac{1}{a}}$=${e}^{-\frac{1}{a}}$-1＜1-1=0，f（1）=1＞0，
则f（${e}^{-\frac{1}{a}}$）•f（1）＜0，此时函数f（x）有零点，不符合题意，
当a=0时，函数f（x）在定义域（0，+∞）上没有零点，
当a＜0时，f（-a）是函数f（x）的极小值，也是函数f（x）的最小值，
∴当f（-a）=a[ln（-a）-1]＞0，即a＞-e时，函数f（x）没有零点，
综上，当-e＜a≤0时，f（x）没有零点，即a的取值范围是（-e，0]．

点评 本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，考查导数的应用，零点问题，考查分类讨论思想，本题属于中档题．