Question

1．已知函数f（x）=ln（x+1）-x，[ln（x+1）]′=$\frac{1}{x+1}$．
（1）求f（x）的最值；
（2）设g（x）=e^x-x-f（x）的图象上有三点A、B、C，它们对应的横坐标分别为x₁、x₂、x₃，已知x₁、x₂、x₃均大于0，且x₁、x₂、x₃构成公差为1的等差数列，比较|AB|与|BC|的大小；
（3）求证：$\frac{1}{\sqrt{e}}$+$\frac{1}{2（\sqrt{e}）^{2}}$+$\frac{1}{3（\sqrt{e}）^{3}}$+…+$\frac{1}{n（\sqrt{e}）^{n}}$＜$\frac{4}{e-1}$．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，求得单调区间和极值，即可得到最值；
（2）先求出|AB|²和|BC|²的解析式，比较|AB|和|BC|大小，只需比较y₂-y₁和y₃-y₂大小即可．作差并利用基本不等式可得y₂-y₁＜y₃-y₂，从而|AB|＜|BC|成立；
（3）由（1）可得ln（1+x）≤x，x=0时，取得等号．即有e^x＞1+x，x＞0，令x=$\frac{n}{2}$，可得${e}^{\frac{n}{2}}$＞1+$\frac{n}{2}$，即n${e}^{\frac{n}{2}}$＞n（1+$\frac{n}{2}$），则$\frac{1}{n（\sqrt{e}）^{n}}$＜$\frac{2}{n（n+2）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$，再由裂项相消求和，即可得证．

解答 解：（1）函数f（x）=ln（x+1）-x的导数为f′（x）=$\frac{1}{x+1}$-1=$\frac{-x}{1+x}$（x＞-1），
当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）递减；当-1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（-1，0）递增．
即有f（x）在x=0处取得极大值，也为最大值，且为0，无最小值；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），
∵|AB|²=（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²，|BC|²=（x₃-x₂）²+（y₃-y₂）²，
又g（x）=e^x-x-f（x）=e^x-ln（1+x），g′（x）=e^x-$\frac{1}{x+1}$，
当x＞0时，e^x＞1，0＜$\frac{1}{x+1}$＜1，即有f′（x）＞0，f（x）在x＞0为增函数，
∴y₂＞y₁，y₃＞y₂．∴比较|AB|和|BC|大小，只需比较y₂-y₁和y₃-y₂大小即可．
由y₂-y₁-（y₃-y₂）=2y₂-（y₁+y₃）=2[${e}^{{x}_{2}}$-ln（1+x₂）]-[${e}^{{x}_{1}}$-ln（1+x₁）+${e}^{{x}_{3}}$-ln（1+x₃）]
=[2${e}^{{x}_{2}}$-（${e}^{{x}_{1}}$+${e}^{{x}_{3}}$）]+[ln（1+x₁）（1+x₃）-2ln（1+x₂）]．
∵${e}^{{x}_{1}}$+${e}^{{x}_{3}}$＞2$\sqrt{{e}^{{x}_{1}+{x}_{3}}}$=2${e}^{{x}_{2}}$，（1+x₁）（1+x₃）＜（ $\frac{2+{x}_{1}+{x}_{3}}{2}$）²=（1+x₂）²，
∴y₂-y₁＜y₃-y₂，∴|AB|＜|BC|；
（3）证明：由（1）可得ln（1+x）≤x，x=0时，取得等号．
即有e^x＞1+x，x＞0，
令x=$\frac{n}{2}$，可得${e}^{\frac{n}{2}}$＞1+$\frac{n}{2}$，即n${e}^{\frac{n}{2}}$＞n（1+$\frac{n}{2}$），
则$\frac{1}{n（\sqrt{e}）^{n}}$＜$\frac{2}{n（n+2）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$，
即有$\frac{1}{\sqrt{e}}$+$\frac{1}{2（\sqrt{e}）^{2}}$+$\frac{1}{3（\sqrt{e}）^{3}}$…+$\frac{1}{n（\sqrt{e}）^{n}}$＜（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$）+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$＜$\frac{3}{2}$＜$\frac{4}{e-1}$．
则有$\frac{1}{\sqrt{e}}$+$\frac{1}{2（\sqrt{e}）^{2}}$+$\frac{1}{3（\sqrt{e}）^{3}}$+…+$\frac{1}{n（\sqrt{e}）^{n}}$＜$\frac{4}{e-1}$．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查函数的单调性的运用和不等式的证明，注意运用裂项相消和累加法求和，属于中档题．