Question

3．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的圆心在直线y=-4x，且圆C与直线l：x+y-1=0相切于点P（3，-2）
（1）求圆C的方程；
（2）若动点M在圆D：（x+$\frac{a}{3}$）²+y²=$\frac{4{a}^{2}}{9}$（a≠0）上运动，当圆C与圆D没有公共点时，判断是否存在实数a，使得|CM|的取值范围是[1，9]，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由圆的切线性质可知，过点P且与l垂直的直线过圆心，结合圆心在y=-4x上，联立可解出圆心坐标，然后半径可求，问题获解；
（2）由题意根据两圆没有公共点，转化为两圆圆心距与它们的半径和与差的关系，=同时，|CM|的范围问题即为C到圆D上点的距离的最大值及最小值问题．

解答 解：（1）过点（3，-2）与直线l垂直的直线m斜率为k=1，
所以直线m的方程为y+2=x-3，即x-y-5=0．
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y-5=0}\\{y=-4x}\end{array}\right.$解得C（1，-4）．
所以$r=\sqrt{（3-1）^{2}+（-2+4）^{2}}=2\sqrt{2}$．
故圆C的方程为：（x-1）²+（y+4）²=8．
（2）由圆D：（x+$\frac{a}{3}$）²+y²=$\frac{4{a}^{2}}{9}$（a≠0）得：D（$-\frac{a}{3}，0$），半径R=$\frac{2}{3}|a|$．
因为圆D的圆心在x轴上，所以两圆没有公共点时，则要么两圆相离或者圆C内含于圆D．
所以|CM|_min≥r=2$\sqrt{2}$＞1．
故不存在这样的实数a，使得|CM|∈[1，9]．

点评 本题圆的切线的性质，直线与圆、圆与圆的位置关系等基础知识，难度不大，属于基础题．