Question

12．如图，正方形A₁BCD折成直二面角A-BD-C，则二面角A-CD-B的余弦值是（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 由已知可得AO⊥平面BCD，则OC，OA，OD两两互相垂直，以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz，分别求出平面ACD和平面BCD的法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角A-CD-B的余弦值．

解答 解：∵正方形A₁BCD的对角线BD为棱折成直二面角，
∴平面ABD⊥平面BCD，
连接BD，A₁C，相交于O，
则AO⊥BD，
∵平面ABD∩平面BCD=BD，AO?平面ABD
∴AO⊥平面BCD，则OC，OA，OD两两互相垂直，
如图，以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz．
设正方形的棱长为1，
则O（0，0，0），A（0，0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），C（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，0），B（0，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），D（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），
$\overrightarrow{OA}$=（0，0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）是平面BCD的一个法向量．
$\overrightarrow{AC}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{BC}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），$\overrightarrow{CD}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0）
设平面ACD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y=0}\\{\frac{\sqrt{2}}{2}x-\frac{\sqrt{2}}{2}z=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{z=x}\end{array}\right.$，
令x=1，则y=1，z=1，
解得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1）．
从而|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{OA}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OA}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{OA}|}$=$\frac{|\frac{\sqrt{2}}{2}|}{\sqrt{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
二面角A-CD-B的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故选：B

点评 本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，解答的关键是分别求出平面ACD和平面BCD的法向量，利用向量法是解决空间二面角大小的基本方法．