Question

17．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F（1，0），过焦点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点，若直线l的倾斜角为45°，则弦AB的中点坐标为（3，2）．

Answer 1

分析 根据题意确定出抛物线C解析式，以及直线l解析式，联立两解析式消去y得到关于x的一元二次方程，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韦达定理求出x₁+x₂=6，进而确定出弦AB中点横坐标，即可确定出弦AB中点坐标．

解答 解：根据题意得：抛物线C解析式为y²=4x，
∵过焦点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点，直线l的倾斜角为45°，
∴直线l解析式为y=x-1，
联立得：$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=x-1}\end{array}\right.$，
消去y得：（x-1）²=4x，即x²-6x+1=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有x₁+x₂=6，即弦AB中点横坐标为3，
把x=3代入y=x-1得：y=2，
则弦AB中点坐标为（3，2），
故答案为：（3，2）．

点评 此题考查了直线与圆锥曲线的关系，韦达定理，线段中点坐标公式，确定出抛物线与直线解析式是解本题的关键．