Question

14．已知函数f（x）=|x+1|+|x-2|．命题p：关于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集；命题q：函数 y=log₂[（4-a）x-3]在其定义域上是减函数．
（1）解不等式f（x）≤5；
（2）若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，解不等式f（x）≤5；
（2）求出p，q为真时，a是范围，利用命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．

解答 解：（1）由题意，|x+1|+|x-2|≤5．
x≤-1时，-x-1-x+2≤5，∴x≥-2，∴-2≤x≤-1；
-1＜x＜2时，x+1-x+2≤5恒成立；
x≥2时，x+1+x-2≤5，∴x≤3，∴2≤x≤3，
综上，-2≤x≤3；
（2）x≤-1时，f（x）=-x-1-x+2=-2x+1≥3；
-1＜x＜2时，f（x）=x+1-x+2=3；
x≥2时，f（x）=x+1+x-2=2x-1≥3，
综上，f（x）≥3，
∵关于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集，
∴a＞3，
∵函数 y=log₂[（4-a）x-3]在其定义域上是减函数，
∴4-a＜0，
∴a＞4，
∵命题“p且q”是真命题，
∴a＞4

点评 本题考查绝对值不等式，考查分类讨论的数学思想，考查复合命题真假判断，属于中档题．