Question

4．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD．
（1）证明：AB⊥平面PAD；
（2）求面PAD与面PDB所成的二面角的正切值．

Answer 1

分析 （1）根据平面PAD⊥底面ABCD以及AB⊥AD即可证得AB⊥平面PAD；
（2）利用面积射影法，求出面PAD与面PDB所成的二面角的余弦值，即可求出面PAD与面PDB所成的二面角的正切值．

解答 （1）证明：∵底面ABCD是正方形，
∴AB⊥AD，
∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，
∴由面面垂直的性质定理得，AB⊥平面PAD；
（2）解：由题意，△PBD在面PAD上的射影为△PAD．
设AD=a，则S_△PAD=$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$，
△PBD中，PD=a，BD=$\sqrt{2}$a，PB=$\sqrt{2}$a，∴S_△PBD=$\frac{1}{2}×a×\sqrt{2{a}^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}{a}^{2}$，
∴面PAD与面PDB所成的二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$，
∴面PAD与面PDB所成的二面角的正切值为$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查面PAD与面PDB所成的二面角的正切值，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力．