Question

10．已知E是矩形ABCD（如图1）边CD上的一点，现沿AE将△DAE折起至△D₁AE（如图2），并且平面D₁AE⊥平面ABCE，图3为四棱锥D₁-ABCE的主视图与左视图．
（1）求证：直线BE⊥平面D₁AE；
（2）求点A到平面D₁BC的距离．

Answer 1

分析 （1）由主视图和左视图易知：AD=DE=EC=BC=1，证明BE⊥AE，利用平面D₁AE⊥平面ABCE，证明直线BE⊥平面D₁AE；
（2）利用${V_A}_{-{D_1}BC}={V_{{D_1}-ABC}}$，求点A到平面D₁BC的距离．

解答 （1）证明：由主视图和左视图易知：AD=DE=EC=BC=1
∴$AE=BE=\sqrt{2}，AB=2$，
∴AE²+BE²=AB²
$\left.\begin{array}{l}∴BE⊥AE\\ 又∵平面{D_1}AE⊥平面ABCE\\ 平面{D_1}AE∩平面ABCE=AE\end{array}\right\}$⇒BE⊥平面D₁AE…（5分）
（2）解：分别取AE，BC中点M，N
∵D₁A=D₁E=1，
$\left.\begin{array}{l}∴{D_1}M⊥AE\\ 又∵平面{D_1}AE⊥平面ABCE\\ 平面{D_1}AE∩平面ABCE=AE\end{array}\right\}$⇒D₁M⊥平面ABCE，
$\left.\begin{array}{l}∴{D_1}M⊥BC\\ MN⊥BC\\{D_1}M∩MN=M\end{array}\right\}$⇒BC⊥平面D₁MN，
∴BC⊥D₁N．
Rt△D₁MN中，${D_1}M=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，MN=\frac{3}{2}$，∴${D_1}N=\frac{{\sqrt{11}}}{2}$
设A到平面D₁BC的距离为d，
∵${V_A}_{-{D_1}BC}={V_{{D_1}-ABC}}$，
∴$\frac{1}{3}S{\;}_{△{D_1}BC}•d=\frac{1}{3}•{D_1}M•S{\;}_{△ABC}$，
∴$\frac{1}{2}{D_1}N•BC•d={D_1}M•\frac{1}{2}AB•BC$，
∴$\frac{{\sqrt{11}}}{2}×1•d=\frac{{\sqrt{2}}}{2}×2×1$，
∴$d=\frac{{2\sqrt{22}}}{11}$…（12分）

点评 本题考查平面与平面垂直的性质，考查线面垂直的判断，考查点面距离的计算，正确利用线面垂直的判定是关键．