Question

5．如图，四边形ABCD中，DC∥AB，AD⊥AB，AB=4，AD=DC=2，E，F分别为AD，BC的中点，将梯形ABCD沿EF折起，使得二面角D-EF-A为直二面角
（1）求折起后BD与CF所成角的余弦值；
（2）求二面角F-BC-D的大小．

Answer 1

分析 （1）建立空间坐标系求出向量$\overrightarrow{BD}，\overrightarrow{CF}$的夹角的余弦即可求折起后BD与CF所成角的余弦值；
（2）求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角F-BC-D的大小．

解答 解：（1）将梯形ABCD沿EF折起，使得二面角D-EF-A为直二面角，
则DE⊥AE，
以E为坐标原点，建立空间直角坐标系如图，
则AE=DE=1，DC=2，AB=4，EF=3，
即E（0，0，0），A（1，0，0），D（0，0，1），
F（0，3，0），C（0，2，1），B（1，4，0），
$\overrightarrow{BD}$=（-1，-4，1），$\overrightarrow{CF}$=（0，1，-1），
则|$\overrightarrow{BD}$|=$\sqrt{（-1）^{2}+{4}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{18}$=3$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{CF}$|=$\sqrt{2}$，
$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{CF}$=-4-1=-5，
则cos＜$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{CF}$＞=$\frac{\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{CF}}{|\overrightarrow{BD}||\overrightarrow{CF}|}$=$\frac{-5}{3\sqrt{2}×\sqrt{2}}=-\frac{5}{6}$，
即折起后BD与CF所成角的余弦值为$\frac{5}{6}$；
（2）∵$\overrightarrow{BF}$=（-1，-1，0），$\overrightarrow{BC}$=（-1，-2，1），$\overrightarrow{DC}$=（0，2，0），
∴设平面FBC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），平面BCD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BF}=-x-y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=-x-2y+z=0}\end{array}\right.$，令y=1，则x=-1，z=1，即$\overrightarrow{m}$=（-1，1，1），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-x-2y+z=0}\end{array}\right.$，令x=1，则y=0，z=1，
即为$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=0，
即＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{π}{2}$，即二面角F-BC-D的大小为$\frac{π}{2}$．

点评 本题主要考查空间异面直线所成的角以及二面角的求解，建立坐标系，利用向量法是解决本题的关键．