Question

7．已知函数f（x）=|x-a|-|x-4a|（a＞0），若对?x∈R，都有f（2x）-1≤f（x），则实数a的最大值是$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 由题意可得，|2x-a|+|x-4a|≤|x-a|+|2x-4a|+1恒成立，绝对值的“根”共有4个：$\frac{a}{2}$，a，2a，4a，分类讨论求得实数a的最大值．

解答 解：f（2x）-1≤f（x）恒成立，即|2x-a|-|2x-4a|-1≤|x-a|-|x-4a|恒成立，
即|2x-a|+|x-4a|≤|x-a|+|2x-4a|+1恒成立，且a＞0．
此不等式中，绝对值的“根”共有4个：$\frac{a}{2}$，a，2a，4a．
当x＜$\frac{a}{2}$时，不等式即 a-2x+4a-x≤a-x+4a-2x+1，即0≤1．
当$\frac{a}{2}$≤x＜a时，不等式即 2x-a+4a-x≤a-x+4a-2x+1，即2x-$\frac{1}{2}$≤a，故有2a-$\frac{1}{2}$≤a，即a≤$\frac{1}{2}$．
当a≤x＜2a时，不等式即 2x-a+4a-x≤x-a+4a-2x+1，即x≤$\frac{1}{2}$．
当2a≤x＜4a时，不等式即 2x-a+4a-x≤x-a+2x-4a+1，即 8a≤2x+1，故8a≤4a+1，可得a≤$\frac{1}{4}$．
当x≥4a时，不等式即 2x-a+x-4a≤a-x+2x-4a+1，即0≤1．
综上可得，0＜a≤$\frac{1}{4}$，故a的最大值为$\frac{1}{4}$，
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．