Question

3．已知函数f（x）=e^x-x．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数g（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²-1在[0，+∞）上的最小值；
（Ⅲ）求证：e^x＞lnx+$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据导数和函数的单调性的关系即可求出；
（Ⅱ）先求导，判断函数g（x）的单调性质，即可求出最小值；
（Ⅲ）构造函数$h（x）=\frac{1}{2}{x^2}+1-（lnx+\frac{3}{2}）=\frac{1}{2}{x^2}-lnx-\frac{1}{2}$，求得h（x）≥h（1）=0，问题得以证明．

解答 解：（I）f'（x）=e^x-1，
由f'（x）＞0可得x＞0，由f'（x）＜0可得x＜0，
∴f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．
（ II） g'（x）=e^x-x，
令m（x）=e^x-x，
∴m'（x）=e^x-1，
由（ I）知m'（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴m（x）≥m（0）=1，
∴g'（x）＞0在[0，+∞）上恒成立，
∴g（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴x∈[0，+∞）时，g（x）_min=g（0）=0．
（ III）由（ II） 知当x＞0时，g（x）＞0，
即x＞0时，${e^x}＞\frac{1}{2}{x^2}+1$，
设函数$h（x）=\frac{1}{2}{x^2}+1-（lnx+\frac{3}{2}）=\frac{1}{2}{x^2}-lnx-\frac{1}{2}$，
则$h'（x）=x-\frac{1}{x}=\frac{{{x^2}-1}}{x}\;\;（x＞0）$，
由h'（x）＞0可得x＞1；由h'（x）＜0可得0＜x＜1，
∴h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
∴h（x）≥h（1）=0，
∴x＞0时，$\frac{1}{2}{x^2}+1≥lnx+\frac{3}{2}$，
∴${e^x}＞lnx+\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查函数、导数、不等式等基本知识查以及运算求解能力、推理论证能力；培养了化归转化思想、函数方程的思想、数形结合思想，属于中档题．