Question

1．如图，焦点在x轴上的椭圆C₁和焦点在y轴上的椭圆C₂相切于点（0，2）、（0，-2），且椭圆C₁，C₂的离心率均为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C₁，C₂的方程；
（Ⅱ）设椭圆C₂的左、右顶点为A₁，A₂，过A₁的直线l与椭圆C₁，C₂分别交于点M，N和A₁，B（异于A₂），若$\overrightarrow{B{A}_{2}}$•$\overrightarrow{M{A}_{2}}$=0，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设椭圆C₁和C₂的方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，$\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$，通过离心率可得各自的方程；
（Ⅱ）设l的方程为y=k（x+1），通过联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{y}^{2}}{4}+{x}^{2}=1}\end{array}\right.$、利用韦达定理、$\overrightarrow{B{A}_{2}}$•$\overrightarrow{M{A}_{2}}$=0，计算可得斜率k=±$\frac{\sqrt{119}}{4}$．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆C₁和C₂的方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，$\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
则$\frac{{a}^{2}-4}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，即a²=16，
$\frac{4-{b}^{2}}{4}$=$\frac{3}{4}$，即b²=1，
所以椭圆C₁和C₂的方程为：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，$\frac{{y}^{2}}{4}+{x}^{2}=1$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A₁（-1，0），A₂（1，0），
设l的方程为y=k（x+1），B（x₁，y₁），M（x₂，y₂），
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{y}^{2}}{4}+{x}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y得（4+k²）x²+2k²x+k²-4=0，
∵过A₁的直线l与椭圆C₂分别交于点A₁，B（异于A₂），
∴x₁=$-\frac{2{k}^{2}}{4+{k}^{2}}$+1=$\frac{4-{k}^{2}}{4+{k}^{2}}$，
∴y₁=k（x₁+1）=$\frac{8k}{4+{k}^{2}}$，即B（$\frac{4-{k}^{2}}{4+{k}^{2}}$，$\frac{8k}{4+{k}^{2}}$），
∵$\overrightarrow{B{A}_{2}}$•$\overrightarrow{M{A}_{2}}$=0，
∴$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-1}$•$\frac{\frac{8k}{4+{k}^{2}}}{\frac{4-{k}^{2}}{4+{k}^{2}}-1}$=-1，化简得y₂=$\frac{k}{4}$（x₂-1），
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{2}=k（{x}_{2}+1）}\\{{y}_{2}=\frac{k}{4}（{x}_{2}-1）}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-\frac{5}{3}}\\{{y}_{2}=-\frac{2}{3}k}\end{array}\right.$，
代入方程$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，解得k=±$\frac{\sqrt{119}}{4}$，
所以直线l的方程为y=±$\frac{\sqrt{119}}{4}$（x+1）．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，涉及到韦达定理，向量数量积运算等知识，注意解题方法的积累，属于中档题．