Question

2．已知函数f（x）=alnx-bx²，a，b∈R．
（Ⅰ）若f（x）在x=1处与直线y=-$\frac{1}{2}$相切，求a，b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上的最大值；
（Ⅲ）若不等式f（x）≥x对所有的b∈（-∞，0]，x∈（e，e²]都成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，由题意可得f（1）=-$\frac{1}{2}$，f′（1）=0，即可解得a，b的值；
（Ⅱ）求出f（x）的导数，求得单调区间，即可得到最大值；
（Ⅲ）由题意可得alnx-bx²≥x对所有的b∈（-∞，0]，x∈（e，e²]都成立，即alnx-x≥bx²对所有的b∈（-∞，0]，x∈（e，e²]都成立，即alnx-x≥0对x∈（e，e²]恒成立，即$a≥\frac{x}{lnx}$对x∈（e，e²]恒成立，求得右边函数的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=\frac{a}{x}-2bx$．
由函数f（x）在x=1处与直线$y=-\frac{1}{2}$相切，
得$\left\{\begin{array}{l}f'（1）=0\\ f（1）=-\frac{1}{2}.\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}a-2b=0\\-b=-\frac{1}{2}.\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=\frac{1}{2}.\end{array}\right.$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得$f（x）=lnx-\frac{1}{2}{x^2}$，定义域为（0，+∞）．
此时$f'（x）=\frac{1}{x}-x$=$\frac{{1-{x^2}}}{x}$．
令f'（x）＞0，解得0＜x＜1，令f'（x）＜0，得x＞1．
所以f（x）在（$\frac{1}{e}$，1）上单调递增，在（1，e）上单调递减，
所以f（x）在$[\frac{1}{e}，e]$上的最大值为$f（1）=-\frac{1}{2}$；                   
（Ⅲ）若不等式f（x）≥x对所有的b∈（-∞，0]，x∈（e，e²]都成立，
即alnx-bx²≥x对所有的b∈（-∞，0]，x∈（e，e²]都成立，
即alnx-x≥bx²对所有的b∈（-∞，0]，x∈（e，e²]都成立，
即alnx-x≥0对x∈（e，e²]恒成立．　　　　　　　　　          
即$a≥\frac{x}{lnx}$对x∈（e，e²]恒成立，
即a大于或等于$\frac{x}{lnx}$在区间（e，e²]上的最大值．
令$h（x）=\frac{x}{lnx}$，则$h'（x）=\frac{lnx-1}{{{{（lnx）}^2}}}$，
当x∈（e，e²]时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，
所以$h（x）=\frac{x}{lnx}$，x∈（e，e²]的最大值为$h（{e^2}）=\frac{e^2}{2}$．
即$a≥\frac{e^2}{2}$．
所以a的取值范围是$[\frac{e^2}{2}\;，\;+∞）$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式的恒成立问题注意运用参数分离和转化为求函数的最值问题，属于中档题和易错题．