Question

20．下列式子中，最小值为2的有①②③⑤
①y=2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$；②y=x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$；③y=$\frac{1}{si{n}^{2}x}+si{n}^{2}x$；
④y=$\frac{2}{sinx}+\frac{sinx}{2}$，x∈（0，π）；⑤y=tanx+$\frac{cosx}{sinx}$，x$∈（π，\frac{3π}{2}）$；
⑥y=$\sqrt{{x}^{2}+2}+\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$⑦y=$\frac{{x}^{2}+5}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$．

Answer 1

分析 利用基本不等式得①、②、③、⑤满足题意；④中y=$\frac{2}{sinx}+\frac{sinx}{2}$≥2$\sqrt{\frac{2}{sinx}•\frac{sinx}{2}}$=2取不到等号，不满足题意；⑥通过$\sqrt{{x}^{2}+2}$≥2、$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$≥$\frac{1}{2}$知其不满足题意；通过分离分子可得⑦不满足题意．

解答 解：①∵2^x＞0，
∴y=2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$≥2$\sqrt{{2}^{x}•\frac{1}{{2}^{x}}}$=2，
当且仅当2^x=$\frac{1}{{2}^{x}}$即x=0时等号成立，
故①满足题意；
②∵x²＞0，
∴y=x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$≥2$\sqrt{{x}^{2}•\frac{1}{{x}^{2}}}$=2，
当且仅当x²=$\frac{1}{{x}^{2}}$即x=±1时等号成立，
故②满足题意；
③∵sin²x＞0，
∴y=$\frac{1}{si{n}^{2}x}+si{n}^{2}x$≥2$\sqrt{\frac{1}{si{n}^{2}x}•si{n}^{2}x}$=2，
当且仅当$\frac{1}{si{n}^{2}x}$=sin²x即x=$\frac{π}{2}$+kπ（k∈Z）时等号成立，
故③满足题意；
④∵x∈（0，π），∴sinx∈（0，1]，
∴y=$\frac{2}{sinx}+\frac{sinx}{2}$≥2$\sqrt{\frac{2}{sinx}•\frac{sinx}{2}}$=2，
当且仅当$\frac{2}{sinx}$=$\frac{sinx}{2}$即sinx=2时等号成立，
故④不满足题意；
⑤∵x$∈（π，\frac{3π}{2}）$，∴tanx、$\frac{cosx}{sinx}$∈（0，+∞），
∴y=tanx+$\frac{cosx}{sinx}$≥2$\sqrt{tanx•\frac{cosx}{sinx}}$=2，
当且仅当tanx=$\frac{cosx}{sinx}$即x=$\frac{5π}{4}$时等号成立，
故⑤满足题意；
⑥∵$\sqrt{{x}^{2}+2}$≥2，$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$≥$\frac{1}{2}$，
∴y=$\sqrt{{x}^{2}+2}+\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$＞2，
故⑥不满足题意；
⑦∵y=$\frac{{x}^{2}+5}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$=$\frac{{x}^{2}+4+1}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$=$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$≥2+$\frac{1}{2}$＞2，
∴⑦不满足题意，
故答案为：①②③⑤．

点评 本题考查基本不等式，注意等号成立时的条件，属于中档题．