Question

17．已知抛物线y²=2x上有四点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃）、D（x₄，y₄），点M（3，0），直线AB、CD都过点M，且都不垂直于x轴，直线PQ过点M且垂直于x轴，交AC于点P，交BD于点Q．
（1）求y₁y₂的值；
（2）求证：MP=MQ．

Answer 1

分析 （1）利用直线AB过点M（3，0）可设直线AB的方程为x=my+3，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理可得结论；
（2）利用y²=2x，可得直线AC的斜率为$\frac{{{y_1}-{y_3}}}{{{x_1}-{x_3}}}=\frac{2}{{{y_1}+{y_3}}}$，进而可得直线AC的方程、点P的纵坐标，同理可得点Q的纵坐标，利用PQ⊥x轴即得结论．

解答 （1）解：∵直线AB过点M（3，0），A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
∴设直线AB的方程为x=my+3，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{x=my+3}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，得：y²-2my-6=0，
由韦达定理可知y₁y₂=-6；
（2）证明：∵y²=2x，
∴直线AC的斜率为$\frac{{{y_1}-{y_3}}}{{{x_1}-{x_3}}}=\frac{2}{{{y_1}+{y_3}}}$，
∴直线AC的方程为$y=\frac{2}{{{y_1}+{y_3}}}（x-{x_1}）+{y_1}$，
∴点P的纵坐标为${y_P}=\frac{{6+{y_1}{y_3}}}{{{y_1}+{y_3}}}$=$\frac{{6+（-\frac{6}{y_2}）{y_3}}}{{-\frac{6}{y_2}+{y_3}}}=\frac{{6（{y_2}-{y_3}）}}{{{y_2}{y_3}-6}}$，
同理：点Q的纵坐标为y_Q=$\frac{{6（{y_3}-{y_2}）}}{{{y_2}{y_3}-6}}$，
∴y_P+y_Q=0，
又PQ⊥x轴，
∴MP=MQ．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，涉及到韦达定理等知识，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．