Question

18．设函数f（n）=（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ-n，其中n为正整数．
（1）求f（1）、f（2）、f（3）的值；
（2）猜想满足不等式f（n）＜0的正整数n的范围，并用数学归纳法证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）由f（n）=（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ-n，可求得f（1），f（2），f（3）的值；
（2）猜想：n≥3，f（n）=（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ-n＜0，再利用数学归纳法证明即可：①当n=3时，f（3）=-$\frac{17}{27}$＜0成立；②假设当n=k（n≥3，n∈N⁺）时猜想正确，即f（k）=$（1+\frac{1}{k}）^{k}$-k＜0，去证明当n=k+1（n≥3，n∈N⁺）时，f（k+1）=（1+$\frac{1}{k+1}$）^k+1-（k+1）＜0也成立即可．

解答 解：（1）∵f（n）=（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ-n，
∴f（1）=1，f（2）=$（1+\frac{1}{2}）^{2}$-2=$\frac{1}{4}$，f（3）=$（1+\frac{1}{3}）^{3}$-3=-$\frac{17}{27}$，…（3分）
（2）猜想：n≥3，f（n）=（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ-n＜0，…（4分）
证明：①当n=3时，f（3）=-$\frac{17}{27}$＜0成立，…（5分）
②假设当n=k（n≥3，n∈N⁺）时猜想正确，即f（k）=$（1+\frac{1}{k}）^{k}$-k＜0，
∴$（1+\frac{1}{k}）^{k}$＜k，
则当n=k+1时，
由于f（k+1）=（1+$\frac{1}{k+1}$）^k+1=（1+$\frac{1}{k+1}$）^k（1+$\frac{1}{k+1}$）=$（1+\frac{1}{k}）^{k}$（1+$\frac{1}{k+1}$）
＜k（1+$\frac{1}{k+1}$）＜k+1，…（8分）
∴（1+$\frac{1}{k+1}$）^k+1＜k+1，即f（k+1）=（1+$\frac{1}{k+1}$）^k+1-（k+1）＜0成立，
由①②可知，对n≥3，f（n）=（n）=（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ-n＜0成立．…（10分）

点评 本题考查数学归纳法，考查运算、推理及论证能力，属于中档题．