Question

12．已知函数f（x）=e^x-ax-1
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[1，2]的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出当a=1时的f（x）的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；
（Ⅱ）f′（x）=e^x-a，x∈[1，2]，即有e≤e^x≤e²，对a讨论，分①当a≤e，②当e＜a＜e²，③当a≥e²时，求得单调性，即可得到最大值．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=e^x-x-1的导数为f′（x）=e^x-1，
由f′（x）＞0，可得x＞0，由f′（x）＜0，可得x＜0，
则f（x）的增区间为（0，+∞），减区间为（-∞，0）；
（Ⅱ）f′（x）=e^x-a，x∈[1，2]，即有e≤e^x≤e²，
①当a≤e，f′（x）≥0，f（x）在[1，2]递增，f（x）的最大值为f（2）=e²-2a-1；
②当e＜a＜e²，f′（x）=0解得x=lna，
x∈[1，lna]时，f′（x）＜0，f（x）递减；x∈[lna，2]时，f′（x）＞0，f（x）递增．
又f（2）-f（1）=e²-e-a＞0得a＜e²-e，
当e＜a＜e²-e时，f（x）的最大值为f（2）=e²-2a-1；
当e²-e＜a＜e²时，f（x）的最大值为f（1）=e-a-1．
③当a≥e²时，f′（x）≤0，f（x）在[1，2]递减，f（x）的最大值为f（1）=e-a-1．
综上可得，当a＜e²-e，f（x）的最大值为f（2）=e²-2a-1；
当a≥e²-e，f（x）的最大值为f（1）=e-a-1．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，主要考查函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键，属于中档题和易错题．