Question

3．f（x）=e^xlnx-$\frac{a}{{2x}^{2}}$，函数在x=1处切线与 y轴垂直，g（x）=f′（x）-f（x），h（x）=-$\frac{b}{x}$-lnx，若g（x）＞h（x）在[1，+∞）恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，求得切线的斜率，由题意可得在x=1处的导数为0，解得a=-e，求得g（x）的解析式，运用参数分离可得-b＜xlnx+e^x-$\frac{e}{{x}^{2}}$-$\frac{e}{2x}$在[1，+∞）恒成立，令m（x）=xlnx+e^x-$\frac{e}{{x}^{2}}$-$\frac{e}{2x}$，求得导数判断单调性，求得最小值，即可得到b的取值范围．

解答 解：f（x）=e^xlnx-$\frac{a}{{2x}^{2}}$的导数为f′（x）=e^xlnx+$\frac{{e}^{x}}{x}$+$\frac{a}{{x}^{3}}$，
函数在x=1处切线与y轴垂直，即有f′（1）=0，
即为e+a=0，解得a=-e，
g（x）=f′（x）-f（x）=e^xlnx+$\frac{{e}^{x}}{x}$-$\frac{e}{{x}^{3}}$-（e^xlnx+$\frac{e}{2{x}^{2}}$）
=$\frac{{e}^{x}}{x}$-$\frac{e}{{x}^{3}}$-$\frac{e}{2{x}^{2}}$，
由于g（x）＞h（x）在[1，+∞）恒成立，
即-lnx-$\frac{b}{x}$＜$\frac{{e}^{x}}{x}$-$\frac{e}{{x}^{3}}$-$\frac{e}{2{x}^{2}}$，
即有-b＜xlnx+e^x-$\frac{e}{{x}^{2}}$-$\frac{e}{2x}$，
令m（x）=xlnx+e^x-$\frac{e}{{x}^{2}}$-$\frac{e}{2x}$，即有m′（x）=lnx+1+e^x+$\frac{2e}{{x}^{3}}$+$\frac{e}{2{x}^{2}}$，
由x≥1，则m′（x）＞0，
m（x）在[1，+∞）递增，
当x=1时，m（x）取得最小值-$\frac{e}{2}$．
即有-b＜-$\frac{1}{2}$e，
解得b＞$\frac{1}{2}$e．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，主要考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，注意运用参数分离和正确求导是解题的关键．