Question

9．某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在（29.94，30.06）的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出500件，量其内径尺寸，结果如表：
甲厂：

分组	[29.86，29.90）	[29.90，29.94）	[29.94，29.98）	[29.98，30.02）	[30.02，30.06）	[30.06，30.10）	[30.10，30.14）
频数	15	30	125	198	77	35	20

乙厂：

分组	[29.86，29.90）	[29.90，29.94）	[29.94，29.98）	[29.98，30.02）	[30.02，30.06）	[30.06，30.10）	[30.10，30.14）
频数	40	70	79	162	59	55	35

（Ⅰ）由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99.9%的把握认为“生产的零件是否为优质品与不同的分厂有关”．

	甲 厂	乙 厂	合计
优质品
非优质品
合计

附：x²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（x2≥x）	0.100    0.050    0.025    0.010     0.001
x	2.706    3.841    5.024     6.635    10.828

（Ⅱ）现用分层抽样方法（按优质品和非优质品分二层）从两厂中各抽取五件零件，然后从每个厂的五件产品中各抽取两件，将这四件产品中的优质品数记为X，求X的分布列．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由图中表格数据易得2×2列联表，计算可得X²的近似值，可得结论；
（Ⅱ）甲厂有4件优质品，1件非优质品，乙厂有3件优质品，2件非优质品．从两个厂各抽取2件产品，优质品数X的取值为1，2，3，4，由概率公式可得．

解答 解：（Ⅰ）列联表如下

	甲 厂	乙 厂	合计
优质品	400	300	700
非优质品	100	200	300
合计	500	500	1000

x²=$\frac{1000（400×200-100×300）^{2}}{500×500×700×300}$47.619，
∵47.619＞10.828，∴有99.9%的把握认为“生产的零件是否为优质品与不同的分厂有关”．（6分）
（Ⅱ）甲厂有4件优质品，1件非优质品，乙厂有3件优质品，2件非优质品．
从两个厂各抽取2件产品，优质品数X的取值为1，2，3，4．
P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}{C}_{5}^{2}}$=$\frac{1}{25}$；P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}+{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{10}$；
P（X=4）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}{C}_{5}^{2}}$=$\frac{9}{50}$，所以P（X=3）=1-$\frac{1}{25}$-$\frac{3}{10}$-$\frac{9}{50}$=$\frac{12}{25}$    （10分）
所以X的分布列为

X	1	2	3	4
P	$\frac{1}{25}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{12}{25}$	$\frac{9}{50}$

（12分）

点评 本题考查独立检验，考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列，正确求概率是关键．属中档题．