Question

19．已知函数f（x）=（x-2）e^x和g（x）=kx³-x-2．
（1）若函数g（x）在区间（1，2）不单调，求实数k的取值范围；
（2）当x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≥g（x）+x+2恒成立，求实数k的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出g'（x）=3kx²-1，通过①当k≤0时，②当k＞0时，函数g（x）在区间（1，2）不单调，判断导数的符号，得到函数有极值，即可求k的取值范围；
（2）由已知k≤$\frac{（x-2）{e}^{x}}{{x}^{3}}$，令h（x）=$\frac{（x-2）{e}^{x}}{{x}^{3}}$，判断函数的单调性，以及函数的最值，即可求出k的最大值．

解答 解：（1）g'（x）=3kx²-1…（1分）
①当k≤0时，g'（x）=3kx²-1≤0，所以g（x）在（1，2）单调递减，不满足题意；…（2分）
②当k＞0时，g（x）在（0，$\sqrt{\frac{1}{3k}}$）上单调递减，在（$\sqrt{\frac{1}{3k}}$，+∞）上单调递增，
因为函数g（x）在区间（1，2）不单调，所以1＜$\sqrt{\frac{1}{3k}}$＜2，解得$\frac{1}{12}$＜k＜$\frac{1}{3}$…（4分）
综上k的取值范围是$\frac{1}{12}$＜k＜$\frac{1}{3}$．…（5分）
（2）由已知k≤$\frac{（x-2）{e}^{x}}{{x}^{3}}$，
令h（x）=$\frac{（x-2）{e}^{x}}{{x}^{3}}$，则h′（x）=$\frac{（{x}^{2}-4x+6）{e}^{x}}{{x}^{4}}$＞0，
∴h（x）在x∈[1，+∞）单调递增，
∴h（x）_min=h（1）=-e
∴k≤-e，
∴k的最大值为-e．．…（12分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，构造法以及转化思想的应用，同时考查分类讨论思想的应用，考查分析问题解决问题的能力．