Question

15．设F₁、F₂是双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{24}$=1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF₁|=4|PF₂|，则△PF₁F₂的周长24．

Answer 1

分析 先由双曲线的方程求出|F₁F₂|=10，再由3|PF₁|=4|PF₂|，运用双曲线的定义，求出|PF₁|=8，|PF₂|=6，由此能求出△PF₁F₂的周长．

解答 解：双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{24}$=1的a=1，c=$\sqrt{1+24}$=5，
两个焦点F₁（-5，0），F₂（5，0），
即|F₁F₂|=10，
由3|PF₁|=4|PF₂|，设|PF₂|=x，则|PF₁|=$\frac{4}{3}$x，
由双曲线的定义知，$\frac{4}{3}$x-x=2，解得x=6．
∴|PF₁|=8，|PF₂|=6，
|F₁F₂|=10，
则△PF₁F₂的周长为|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|=8+6+10=24．
故答案为：24．

点评 本题考查双曲线的定义和性质的应用，考查三角形周长的计算，属于基础题．