Question

6．已知向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sinx，1-$\sqrt{3}$cosx），$\overrightarrow{n}$=（1-sinx，cosx），函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$+$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的零点；
（Ⅱ）若f（α）=$\frac{8}{5}$，且α∈（$\frac{π}{2}$，π），求cosα的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用数量积运算得到函数解析式并等价变形，得到最简解析式，求零点；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（α），与角度范围得到（$α+\frac{π}{6}$）的正弦和余弦值，利用角的等价变形得到所求．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$+$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$sinx-$\sqrt{3}$sin²x+cosx-$\sqrt{3}$cos²x+$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$sinx+cosx=2sin（x+$\frac{π}{6}$），…（3分）
由f（x）=0，得x+$\frac{π}{6}$=kπ（k∈Z），所以x=kπ-$\frac{π}{6}$（k∈Z），
所以函数f（x）的零点为x=kπ-$\frac{π}{6}$（k∈Z）．  …（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（α）=2sin（$α+\frac{π}{6}$）=$\frac{8}{5}$，且α∈（$\frac{π}{2}$，π），所以sin（$α+\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{5}$，…（8分）
所以$\frac{2π}{3}＜α+\frac{π}{6}＜\frac{7π}{6}$，则cos（$α+\frac{π}{6}$）=-$\frac{3}{5}$，…（10分）
所以cosα=cos[（$α+\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=cos（$α+\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$+sin（$α+\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=$-\frac{3}{5}×\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{4}{5}×\frac{1}{2}=\frac{4-3\sqrt{3}}{10}$．    …（12分）

点评 本题考查了向量的数量积运算以及函数的零点、三角函数的恒等变形求三角函数值，较综合，但是比较典型．