Question

7．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=3，CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=$\frac{π}{3}$，F为PC的中点，AF⊥PB．
（!）求PA的长；
（2）求二面角B-AF-D的正弦值．

Answer 1

分析 （1）过B作BO⊥AC于O，连接OD，以O为坐标原点，OB、OC所在直线分别为x轴、y轴，建立空间直角坐标系O-xyz，通过$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{PB}$=0，计算即可；
（2）利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，1，-$\frac{2}{5}\sqrt{10}$）和$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，-$\frac{9}{5}$，$\frac{18}{25}\sqrt{10}$）分别为平面FAD、平面FAB的法向量，利用空间向量的夹角公式算出、夹角的余弦，结合同角三角函数的平方关系即可算出二面角B-AF-D的正弦值．

解答 解：（1）过B作BO⊥AC于O，连接OD，
以O为坐标原点，OB、OC所在直线分别为x轴、y轴，建立空间直角坐标系O-xyz，
则OC=BCcos$\frac{π}{3}$=$\frac{3}{2}$，OB=BCsin$\frac{π}{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
而AC=4，可得AO=AC-OC=$\frac{5}{2}$．
又∵CDsin$\frac{π}{3}$=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，CDcos$\frac{π}{3}$=2×$\frac{1}{2}$=1，
∴A（0，-$\frac{5}{2}$，0），B（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，0，0），C（0，$\frac{3}{2}$，0），D（-$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$，0），
由于PA⊥底面ABCD，可设P（0，-$\frac{5}{2}$，z）
∵F为PC边的中点，∴F（0，-$\frac{1}{2}$，$\frac{z}{2}$），由此可得$\overrightarrow{AF}$=（0，2，$\frac{z}{2}$），
∵$\overrightarrow{PB}$=（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{5}{2}$，-z），且AF⊥PB，
∴（0，2，$\frac{z}{2}$）•（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{5}{2}$，-z）=5-$\frac{{z}^{2}}{2}$=0，解之得z=$\sqrt{10}$或-$\sqrt{10}$（舍），
因此PA的长为$\sqrt{10}$；
（2）由（1）知$\overrightarrow{AF}$=（0，2，$\frac{\sqrt{10}}{2}$），$\overrightarrow{AB}$=（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{5}{2}$，0），$\overrightarrow{AD}$=（-$\sqrt{3}$，3，0），
设平面FAD的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AF}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{2y+\frac{\sqrt{10}}{2}z=0}\\{-\sqrt{3}x+3y=0}\end{array}\right.$，
取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，1，-$\frac{2}{5}\sqrt{10}$），
设平面FAB的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{2y+\frac{\sqrt{10}}{2}z=0}\\{\frac{3\sqrt{3}}{2}x+\frac{5}{2}y=0}\end{array}\right.$，
取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，-$\frac{9}{5}$，$\frac{18}{25}\sqrt{10}$），
∵$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3-\frac{9}{5}-\frac{72}{25}}{\sqrt{\frac{28}{5}}•\frac{2}{25}\sqrt{1785}}$=-$\frac{\sqrt{51}}{34}$，
∴二面角B-AF-D的正弦值为$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{51}}{34}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{1105}}{34}$．

点评 本题考查在三棱锥中求线段PA的长度，并求平面与平面所成角的正弦值，着重考查了空间线面垂直的判定与性质，考查了利用空间向量研究平面与平面所成角等知识，属于中档题．