Question

16．已知函数f（x）=ax³+cx+d（a≠0）在R上满足f（-x）=-f（x），当x=1时f（x）取得极值-2．
（1）f（x）的解析式．
（2）求f（x）的单调区间和极大值．

Answer 1

分析 （1）由f（-x）=-f（x）可得d=0，得f（x）=ax³+cx，求出f'（x），得方程组，解出即可；
（2）由f（x）=x³-3x得f'（x）=3x²-3，令f'（x）=0得x₁=-1，x₂=1，从而求出单调区间，进而求出极值．

解答 解：（1）∵f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数，由f（0）=0可得d=0，
∴f（x）=ax³+cx，
f'（x）=3ax²+c，
当x=1时f（x）取得极值-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=3a+c=0}\\{f（1）=a+c=-2}\end{array}\right.$，
解方程组得a=1，c=-3，
故所求解析式为f（x）=x³-3x．
（2）由f（x）=x³-3x得f'（x）=3x²-3，
令f'（x）=0得x₁=-1，x₂=1，
即增区间为（-∞，-1），（1，+∞），减区间（-1，1）；
∴当x=-1时，函数有极大值2．

点评 本题考查了函数的单调性，导数的应用，函数的极值问题，属于中档题．