Question

1．某校高一年级开设A，B，C，D，E五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选A课程，不选B课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．
（Ⅰ）求甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率；
（Ⅱ）用X表示甲、乙、丙选中C课程的人数之和，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设事件A为“甲同学选中C课程”，事件B为“乙同学选中C课程”．求出A，B的概率，然后求解甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率．
（Ⅱ）X的可能取值为：0，1，2，3．求出概率，得到X为分布列，然后求解期望．

解答 （共13分）
解：（Ⅰ）设事件A为“甲同学选中C课程”，事件B为“乙同学选中C课程”．
则$P（A）=\frac{C_2^1}{C_3^2}=\frac{2}{3}$，$P（B）=\frac{C_4^2}{C_5^3}=\frac{3}{5}$．
因为事件A与B相互独立，
所以甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率为$P（A\overline B）=P（A）P（\overline B）=P（A）[1-P（B）]=\frac{2}{3}×\frac{2}{5}=\frac{4}{15}$．  …（4分）
（Ⅱ）设事件C为“丙同学选中C课程”．
则$P（C）=\frac{C_4^2}{C_5^3}=\frac{3}{5}$．X的可能取值为：0，1，2，3．
$P（X=0）=P（\overline A\overline B\overline C）=\frac{1}{3}×\frac{2}{5}×\frac{2}{5}=\frac{4}{75}$．
$P（X=1）=P（A\overline B\overline C）+P（\overline AB\overline C）+P（\overline A\overline BC）$=$\frac{2}{3}×\frac{2}{5}×\frac{2}{5}+\frac{1}{3}×\frac{3}{5}×\frac{2}{5}+\frac{1}{3}×\frac{2}{5}×\frac{3}{5}=\frac{20}{75}$．
$P（X=2）=P（AB\overline C）+P（A\overline BC）+P（\overline ABC）$=$\frac{2}{3}×\frac{3}{5}×\frac{2}{5}+\frac{2}{3}×\frac{2}{5}×\frac{3}{5}+\frac{1}{3}×\frac{3}{5}×\frac{3}{5}=\frac{33}{75}$．
$P（X=3）=P（ABC）=\frac{2}{3}×\frac{3}{5}×\frac{3}{5}=\frac{18}{75}$．
X为分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{4}{75}$	$\frac{20}{75}$	$\frac{33}{75}$	$\frac{18}{75}$

$E（X）=0×\frac{4}{75}+1×\frac{20}{75}+2×\frac{33}{75}+3×\frac{18}{75}=\frac{140}{75}=\frac{28}{15}$．…（13分）

点评 本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．