Question

7．已知函数f（x）=xlnx-$\frac{1}{2}a{x^2}$（a∈R）．
（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）对于区间（1，2）内的任意两个不相等的实数x₁，x₂，不等式$\frac{{f（{x_1}+1）-f（{x_2}+1）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞1恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）设S_n=$\frac{ln2}{2^3}+\frac{ln3}{3^3}+\frac{ln4}{4^3}+…+\frac{lnn}{n^3}$，试比较S_n与$\frac{1}{e}$的大小．（其中n＞1，n∈N^*，e=2.71828…是自然对数的底数．）

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出当a=0时的函数的导数，求得单调区间，即可得到最小值；
（Ⅱ）不妨设1＜x₁＜x₂＜2，依条件得：f（x₁+1）-f（x₂+1）＜x₁-x₂即：f（x₁+1）-（x₁+1）＜f（x₂+1）-（x₂+1）恒成立设h（x）=f（x）-x，求得h（x）在（2，3）内的单调性，再由参数分离，通过导数求得最小值，即可得到所求范围；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得$\frac{lnx}{x}≤\frac{1}{e}$，且x＞0．即有$\frac{lnx}{x^3}≤\frac{1}{e}•\frac{1}{x^2}$，令x=n，运用放缩法和裂项求和方法，即可得证．

解答 解：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=xlnx（x＞0），
令f′（x）=1+lnx＞0得得$x＞\frac{1}{e}$，
∴f（x）在$（{0，\frac{1}{e}}）上$上递减，在$（{\frac{1}{e}，+∞}）$上递增．
即有${f_{min}}（x）=f（{\frac{1}{e}}）=-\frac{1}{e}$；
（Ⅱ）不妨设1＜x₁＜x₂＜2，依条件得：f（x₁+1）-f（x₂+1）＜x₁-x₂
即：f（x₁+1）-（x₁+1）＜f（x₂+1）-（x₂+1）恒成立
设h（x）=f（x）-x，上式恒成立，只须此函数在（2，3）上单调递增，
得$h（x）=xlnx-\frac{1}{2}a{x^2}-x$
∴h′（x）=lnx+1-ax-1=lnx-ax≥0，
即$a≤\frac{lnx}{x}$恒成立，
令$g（x）=\frac{lnx}{x}$得$g'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}$，由g′（x）=0得x=e，
当x∈（2，e）时，g′（x）＞0，g（x）在（2，e）上单调递增，
当x∈（e，3）时，g′（x）＜0，g（x）在（e，3）上单调递减，
∴x∈（2，3）时，$g（x）≤g（e）=\frac{lne}{e}=\frac{1}{e}$，
又∵$g（2）=\frac{ln2}{2}=ln\root{6}{8}＜ln\root{6}{9}=\frac{ln3}{3}$
∴$g（x）＞g（2）=\frac{ln2}{2}$∴$a≤\frac{ln2}{2}$，
经检验：当$a=\frac{ln2}{2}$时也符合题意，
综上得a≤$\frac{ln2}{2}$；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得$\frac{lnx}{x}≤\frac{1}{e}$，且x＞0．∴$\frac{lnx}{x^3}≤\frac{1}{e}•\frac{1}{x^2}$，
∴$\frac{ln2}{2^3}+\frac{ln3}{3^3}+\frac{ln4}{4^3}+…+\frac{lnn}{n^3}≤\frac{1}{e}（{\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+…+\frac{1}{n^2}}）$
又$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+…+\frac{1}{n^2}＜\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{{（{n-1}）•n}}$，
∵$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{{（{n-1}）•n}}=（{1-\frac{1}{2}}）+（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）+（{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}}）+…+（{\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}}）$=$1-\frac{1}{n}＜1$，
∴$\frac{ln2}{2^3}+\frac{ln3}{3^3}+\frac{ln4}{4^3}+…+\frac{lnn}{n^3}＜\frac{1}{e}$，
∴${S_n}＜\frac{1}{e}$．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查不等式恒成立问题和数列求和的方法，运用构造函数和不等式的方法解决问题是解题的关键．