Question

6．已知函数f（x）满足f（x）=x³+f′（$\frac{2}{3}$）x²-x+C（其中f′（$\frac{2}{3}$）为f（x）在点x=$\frac{2}{3}$处的导数，C为常数）．
（1）求函数f（x）；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=x³+f′（$\frac{2}{3}$）x²-x+C，得f′（x）=3x²+2f′（$\frac{2}{3}$）x-1，由此能求出f′（$\frac{2}{3}$）的值，再求函数f（x）；
（2）由f（x）=x³-x²-x+C．知f′（x）=3（x+$\frac{1}{3}$）（x-1），利用导数的正负能求出f（x）的单调区间．

解答 解：（1）由f（x）=x³+f′（$\frac{2}{3}$）x²-x+C，得f′（x）=3x²+2f′（$\frac{2}{3}$）x-1．
取x=$\frac{2}{3}$，得f′（$\frac{2}{3}$）=3×（$\frac{2}{3}$）²+2f′（$\frac{2}{3}$）×$\frac{2}{3}$-1，
解之，得f′（$\frac{2}{3}$）=-1，（5分）
∴f（x）=x³-x²-x+C． （6分）
（2）由（1），f′（x）=3（x+$\frac{1}{3}$）（x-1），
令f′（x）＞0，可得x＜-$\frac{1}{3}$或x＞1，f′（x）＜0，可得-$\frac{1}{3}$＜x＜1，
∴f（x）的单调递增区间是（-∞，-$\frac{1}{3}$）和（1，+∞）；f（x）的单调递减区间是（-$\frac{1}{3}$，1）．       （12分）

点评 本题考查函数的导数值的求法，考查函数的单调区间的求法，考查学生的计算能力，比较基础．