Question

8．已知函数f（x）=e^x-x²+a，x∈R的图象在点x=0处的切线为y=bx．（e≈2.71828）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x∈R时，求证：f（x）≥-x²+x．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用图象在点x=0处的切线为y=bx，求出a，b，即可求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）令φ（x）=f（x）+x²-x=e^x-x-1，确定函数的单调性，可得φ（x）_min=φ（0）=0，即可证明：f（x）≥-x²+x；

解答 （Ⅰ）f（x）=e^x-x²+a，f'（x）=e^x-2x．
由已知$\left\{\begin{array}{l}f（0）=1+a=0\\ f'（0）=1=b\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=1\end{array}\right.$，f（x）=e^x-x²-1．
（Ⅱ）令φ（x）=f（x）+x²-x=e^x-x-1，φ'（x）=e^x-1，由φ'（x）=0，得x=0，
当x∈（-∞，0）时，φ'（x）＜0，φ（x）单调递减；
当x∈（0，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增．
∴φ（x）_min=φ（0）=0，从而f（x）≥-x²+x．

点评 本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值问题，考查了函数的单调性，属于中档题