Question

20．已知函数f（x）=x³-3ax²+2bx在x=1处有极小值-1，
（1）求函数f（x）的解析式，
（2）求出函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）由题意可得f（1）=-1，求出函数的导数，可得f′（1）=0，解方程可得a，b，进而得到函数的解析式；
（2）求得导数，令导数大于0，可得增区间；令导数小于0，可得减区间，注意二次不等式的解法．

解答 解：（1）由已知，可得f（1）=1-3a+2b=-1，①
又f′（x）=3x²-6ax+2b，
即有f′（1）=3-6a+2b=0，②
由①，②，解得a=$\frac{1}{3}$，b=-$\frac{1}{2}$．
故函数的解析式为f（x）=x³-x²-x．
（2）由此得f′（x）=3x²-2x-1，
根据二次函数的性质，当x＜-$\frac{1}{3}$或x＞1时，f′（x）＞0；
当-$\frac{1}{3}$＜x＜1时，f′（x）＜0．
因此函数的单调增区间为（-∞，-$\frac{1}{3}$）和（1，+∞），函数的单调减区间为（-$\frac{1}{3}$，1）．

点评 本题考查导数的运用：求极值和单调区间，主要考查二次不等式的解法和函数的解析式的求法，属于中档题．