Question

15．设函数f（x）=ax²+（a-2）x-lnx
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设函数g（x）=f（x）-（a-2）x，若不等式g（x）≥0在区间（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；
（3）求证：$\frac{ln2}{{2}^{4}}$+$\frac{ln3}{{3}^{4}}$+$\frac{ln4}{{4}^{4}}$+…+$\frac{lnn}{{n}^{4}}$$＜\frac{3}{8e}$（n∈N，n≥2）

Answer 1

分析 （1）确定函数的定义域，分类讨论，利用导数的正负，可得函数f（x）的单调区间；
（2）分离参数，确定函数的单调性，求最值，即可得出结论；
（3）由（2）知，$\frac{lnx}{{x}^{2}}≤\frac{1}{2e}$，可得$\frac{lnx}{{x}^{4}}≤\frac{1}{2e}•\frac{1}{{x}^{2}}$，再放缩，裂项求和，可得结论．

解答 解：（1）函数的定义域为（0，+∞）．
∵f′（x）=$\frac{（2x+1）（ax-1）}{x}$，
∴a≤0时，f′（x）＜0，函数的单调减区间为（0，+∞）；
a＞0时，f′（x）＜0，可得0＜x＜$\frac{1}{a}$，f′（x）＞0，可得x＞$\frac{1}{a}$，
∴函数的单调减区间为（0，$\frac{1}{a}$），单调增区间为（$\frac{1}{a}$，+∞）；
（2）∵g（x）=ax²-lnx≥0，
∴a≥$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
设h（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，则h′（x）=$\frac{1-2lnx}{{x}^{3}}$
∴h（x）在（0，$\sqrt{e}$）上单调递增，在（$\sqrt{e}$，+∞）上单调递减，
∴h（x）≤h（$\sqrt{e}$）=$\frac{1}{2e}$，
∴a≥$\frac{1}{2e}$；
（3）由（2）知，$\frac{lnx}{{x}^{2}}≤\frac{1}{2e}$，∴$\frac{lnx}{{x}^{4}}≤\frac{1}{2e}•\frac{1}{{x}^{2}}$，
∴$\frac{ln2}{{2}^{4}}$+$\frac{ln3}{{3}^{4}}$+$\frac{ln4}{{4}^{4}}$+…+$\frac{lnn}{{n}^{4}}$＜$\frac{1}{2e}$（$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$）（n≥2）
∵$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{2×4}$+…+$\frac{1}{（n-1）（n+1）}$
=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$）]
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）＜$\frac{3}{4}$，
∴：$\frac{ln2}{{2}^{4}}$+$\frac{ln3}{{3}^{4}}$+$\frac{ln4}{{4}^{4}}$+…+$\frac{lnn}{{n}^{4}}$$＜\frac{3}{8e}$（n∈N，n≥2）

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．